[Marion/마리온] 일반역학 제6장 연습문제 솔루션 풀이 해설 (2번)

[문제 6-2]
평면 상에서 두 점 사이의 최단 경로는 직선임을 보여라.

[풀이]
평면 상에서 두 점 사이의 거리 $dl$은 다음과 같이 구할 수 있다.
$$dl=\sqrt{dx^2+dy^2}$$

두 점을 $P_1, P_2$라고 하고 적분하자.

$$l = \int_{P_1}^{P_2} \sqrt{1+\left( \frac{dy}{dx} \right) ^2} dx$$

오일러 방정식을 쓰면

$$\frac{d}{dx} \frac{d}{d\dot{y}} \sqrt{1+\dot{y}^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\dot{y}}{\sqrt{1+\dot{y}^2}} \right) = 0$$

$$\frac{\dot{y}}{\sqrt{1+\dot{y}^2}}$$는 상수이므로 $A$로 놓자.

그러면

$$\dot{y} = \sqrt{\frac{A^2}{1-A^2}}=B$$

라는 상수가 나온다.

따라서 정리하면 $y=Bx+C$ 라는 직선의 방정식이 나오므로 평면 상에서 두 점 사이의 최단 경로는 직선임을 알 수 있다.