Cherry_

1041 1042 1043 1044 1045 1046 1047 1048 1049 1050 1051 1052 1053 1054 1055 1056 1057 1058 1059 1060 1061 1062 1063 1064 1065 1066 1067 1068 1069 1070 1071 1072 1073 1074 1075 1076 1077 1078 1079 1080

1. DYNAMICS OF A POINT MASS (1001-1108) 1001 무게 $w$의 남자가 무게 $w$의 엘리베이터를 타고 있다. 엘리베이터는 수직으로 가속도 $a$로 가속하고 특정 순간에 속도 $V$를 갖는다. (a) 남자의 겉보기 무게는 얼마인가? (b) 남자가 엘리베이터에 대해 상대속도 $v$로 엘리베이터 내의 수직으로 된 사다리를 올라가고 있다. 남자의 에너지 소비율(사용한 힘)은 얼마인가? 1002 궤도를 도는 우주 정거장이 항상 지구의 같은 지점 위에 수직으로 유지되는 것으로 관측된다. 관측자는 어디에 있는걸까? 우주 정거장의 궤도를 가능한 한 완벽하게 설명하라. 1003 놀이공원에 회전하는 수평 원반이 있다. 한 어린이가 그 원반에 어느 반지름에나 앉을 수 있다. 원반이 속도를 내..

[문제 6-2] 평면 상에서 두 점 사이의 최단 경로는 직선임을 보여라. [풀이] 평면 상에서 두 점 사이의 거리 $dl$은 다음과 같이 구할 수 있다. $$dl=\sqrt{dx^2+dy^2}$$ 두 점을 $P_1, P_2$라고 하고 적분하자. $$l = \int_{P_1}^{P_2} \sqrt{1+\left( \frac{dy}{dx} \right) ^2} dx$$ 오일러 방정식을 쓰면 $$\frac{d}{dx} \frac{d}{d\dot{y}} \sqrt{1+\dot{y}^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\dot{y}}{\sqrt{1+\dot{y}^2}} \right) = 0$$ $$\frac{\dot{y}}{\sqrt{1+\dot{y}^2}}$$는 상수이므로 $A$로 놓자. 그..

[문제 4-7] 진폭이 작지 않은 평면 진자의 자유 운동을 생각하자. 운동의 수평 성분이 근사적으로 (3차항까지) 다음과 같이 나타남을 보여라. $$\ddot{x} + \omega _0^2 \left( 1+ \frac{x_0^2}{l^2} \right) x - \varepsilon x^3 =0$$ $\omega _0^2 =g/l$, $\varepsilon = 39/2l^3$이고, $l$은 현의 길이와 같다. [풀이] 단진자의 운동방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다. $$\ddot{\theta} = - \omega _0^2 \sin{\theta}$$ $\theta$가 작지 않으므로 $\sin{\theta}$를 그대로 유지하자. 그리고 $\omega _0^2 = g/l$이다. 아래 그림을 보면, 수평 성분의 ..

[문제 4-1] 총 에너지가 $E>2mgl$인 경우 평면 진자의 위상 경로에 대한 식을 유도해라. 이것은 주기적인 퍼텐셜 $U(\theta ) = mgl(1-\cos{\theta } )$에서 입자가 움직이는 경우에만 해당한다는 점에 유의해라. [풀이] 진자의 운동에너지는 $$T = E-U$$ $$T = \frac{1}{2} mv^2$$ $v=l\omega = l \dot{\theta}$이므로, $$T= \frac{1}{2} ml^2 \dot{\theta}^2$$ 이를 첫 번째 식에 대입하면 $\dot{\theta}$에 대해 정리하면 다음을 얻는다.

문제 4-1. 예제 4.1 참고. 입자를 평형 위치에 부착하기 위해 각 용수철을 거리 $d$만큼 늘려야 한다면 (즉 평형 위치에서 입자는 크기는 $kd$로 동일하고 방향이 반대인 두 개의 힘을 받는다), 입자가 움직이는 퍼텐셜이 대략 다음과 같음을 증명해라. $$U(x) = (kd/l) x^2 + [k(l-d)/4l^3] x^4$$ [풀이] 예제 4.1에서는 질량을 부착하기 위해 용수철을 늘릴 필요가 없었지만, 이 문제에서는 질량을 부착하기 위해 용수철을 거리 $d$만큼 늘려야 한다. (그림 참고) 그림의 두 번째 부분에서 늘어난 용수철의 길이는 $l$이다. 여기서 $l=l_0+d$이며, $l_0$는 늘어나지 않은 상태의 길이이다. (두 용수철은 동일하며 중력은 무시한다. ) 세 번째 그림은 용수철의 길..

예제 4.1 두 개의 동일한 용수철 사이에 매달려 있는 질량이 $m$인 입자를 생각하자. (그림 참고) 이 계가 비선형임을 보여라. 강제력 $F_0 \cos{\omega t}$에 대한 정상해를 구하라. [풀이] 입자가 그 평형의 위치에있고, 양쪽의 용수철이 늘어나지 않은 상태 (즉, 어떤 용수철에도 장력이 없고, 따라서 퍼텐셜 에너지도 없다)이며, 또 중력도 무시할 수 있으면, 입자가 평형위치에서 변위될 때(그림 참고) 각 용수철에서 힘 $-k(s-l)$을 받는다 ($k$는 각 용수철의 힘 상수이다) ($s$는 늘어난 용수철의 길이, $l$은 늘어나기 전 용수철의 길이이다). 그러므로 입자가 받는 전체의 (수평 방향) 힘은 다음과 같다. $$F=-2k(s-l) \sin{\theta}$$ (용수철이 두 개..