[Marion/마리온] 일반역학 제 4장 예제 솔루션 문제 풀이 해설 정리

예제 4.1

두 개의 동일한 용수철 사이에 매달려 있는 질량이 $m$인 입자를 생각하자. (그림 참고) 이 계가 비선형임을 보여라. 강제력 $F_0 \cos{\omega t}$에 대한 정상해를 구하라. 

 

[풀이]

입자가 그 평형의 위치에있고, 양쪽의 용수철이 늘어나지 않은 상태 (즉, 어떤 용수철에도 장력이 없고, 따라서 퍼텐셜 에너지도 없다)이며, 또 중력도 무시할 수 있으면,

 

입자가 평형위치에서 변위될 때(그림 참고) 각 용수철에서 힘 $-k(s-l)$을 받는다

($k$는 각 용수철의 힘 상수이다)

($s$는 늘어난 용수철의 길이, $l$은 늘어나기 전 용수철의 길이이다).

 

그러므로 입자가 받는 전체의 (수평 방향) 힘은 다음과 같다. 

 

$$F=-2k(s-l) \sin{\theta}$$

 

(용수철이 두 개이므로 두 배가 되었고, 수평성분의 힘을 구할 것이기 때문에 $\sin{\theta}$가 곱해졌다)

 

한편

 

$$s=\sqrt{l^2+x^2}$$

 

이고, 

 

$$\sin{\theta}=\frac{x}{s} =\frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}}$$

 

이므로, 결국

 

$$F=-\frac{2kx}{\sqrt{l^2+x^2}} \cdot \left( \sqrt{l^2+x^2} -l \right) = -2kx \left( 1- \frac{1}{\sqrt{1+(x/l)^2}} \right)$$

 

을 얻는다.

 

다음에 $x/l$은 작다고 생각해서($l$에 비해 $x$가 매우 작다고 생각해서) 루트를 전개하면 다음과 같다. 

 

(테일러전개 한 것이다. $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$을 $x=0$에서 테일러전개 하면 $1-\frac{x^2}{2} +\frac{3x^4}{8} - \cdots$ 를 얻을 수 있다. )

 

$$\begin{align} F & =-2kx \left( 1-1+\frac{1}{2} \left( \frac{x}{l} \right) ^2 - \frac{3}{8} \left( \frac{x}{l} \right) ^4 + \cdots \right) \\ & =-k \frac{x^3}{l^2} \left( 1- \frac{3}{4} \left( \frac{x}{l} \right) ^2 + \cdots \right) \\ & =-(k/l^2)x^3 \end{align}$$

 

가장 기여가 큰 항 외의 모든 항을 생략하면, 근사적으로 위 식의 마지막 줄처럼 쓸 수 있다. 따라서 이 경우에 $x/l$이 작도록 운동의 진폭이 충분히 제한되어 있어도 힘이 $x^3$에 비례하는 결과가 나오므로 이 계는 본질적으로 비선형이다.

 

한편 평형위치에 있는 입자에 용수철을 붙이기 위해 각 용수철을 $d$만큼 늘렸다고 하면, 힘은

 

$$F(x) \cong -2(kd/l)x - [k(l-d)/l^3]x^3$$

 

이 되어 선형항이 도입된다. (연습문제 4-1 참조) 미소 진동시에 운동은 근사적으로 조화 단진동이 된다. 

 

위의 식에서

 

$$\varepsilon ' = -k(l-d)/l^3 < 0$$

 

으로 놓을 수 있으므로, 계는 단단한 계이다.  

 

만약 강제력 $F_0 \cos{\omega t}$가 작용된다면 당기는 용수철의 운동방정식은

 

$$m \ddot{x} = -\frac{2kd}{l} x - \frac{k(l-d)}{l^3} x^3 + F_0 \cos{\omega t} $$

 

로 주어진다. 

 

$$\varepsilon = \frac{\varepsilon '}{m} , a=\frac{2kd}{ml} , G=\frac{F_0}{m}$$

 

라고 두면, 위 운동방정식을 다음과 같이 바꿀 수 있다. 

 

$$ \ddot{x} = -ax+ \varepsilon x^3 + G \cos{\omega t}$$

 

이 식은 풀기 힘든 미분 방정식이다. 계속 근사하는 방법(섭동법)으로 해의 중요한 성질을 찾아낼 수 있다. 

 

우선 $x_1= A \cos{\omega t}$를 해로 택하여 위 식의 우변에 $x$대신 대입한다. 그러면

 

$$\ddot{x_2} = -aA \cos{\omega t} + \varepsilon A^3 \cos^3{\omega t} + G \cos{\omega t}$$

 

가 되며, 이 식의 해는 $x=x_2$이다. 관계식 

 

$$\cos^3{\omega t} = \frac{3}{4} \cos{\omega t} + \frac{1}{4} cos{3\omega t}$$

 

를 이 식에 사용하면

 

$$\ddot{x_2} = - \left( aA- \frac{3}{4} \varepsilon A^3 - G \right) \cos{\omega t} + \frac{1}{4} \varepsilon A^3 \cos{3\omega t}$$

 

가 된다. 두 번 적분(적분 상수를 0으로 놓고) 하면

 

$$x_2 = \frac{1}{\omega ^2} \left( aA - \frac{3}{4} \varepsilon A^3 - G \right) \cos{\omega t} - \frac{\varepsilon A^3}{36 \omega ^2} \cos{3\omega t}$$

 

를 얻는다. 이것은 이미 복잡한 해이다. 

 

$\varepsilon, a, x$에 어떤 조건이 부여되면 $x_2$가 적합한 해가 될까? 컴퓨터로 수치 계산하면 아주 정확하게 섭동해를 빨리 얻을 수 있다. 진폭이 강제력의 진동수에 의존하지만 계의 고유진동수 부근에서 공명이 일어나지 않는다는 사실을 알게 되었다. 

 

이 미분방정식을 푸는 방법에 관한 좀 더 깊은 논의는 너무나 앞선 것이다. 강제력의 진동수 $\omega$의 어던 값에 대해 진폭 사이에 '뛰는' 현상이 있는 세 가지 종류의 진폭이 결과로 나타난다. $\omega$가 증가하는가 혹은 감소(히스테리시스)하는가에 따라 진폭의 값는 달라진다.