<역학>/[Marion] 일반역학_문제풀이

[Marion/마리온] 일반역학 제 4장 예제 솔루션 문제 풀이 해설 정리

체리(양정인) 2023. 6. 10. 00:11

예제 4.1

두 개의 동일한 용수철 사이에 매달려 있는 질량이 m인 입자를 생각하자. (그림 참고) 이 계가 비선형임을 보여라. 강제력 F0cosωt에 대한 정상해를 구하라. 

 

[풀이]

입자가 그 평형의 위치에있고, 양쪽의 용수철이 늘어나지 않은 상태 (즉, 어떤 용수철에도 장력이 없고, 따라서 퍼텐셜 에너지도 없다)이며, 또 중력도 무시할 수 있으면,

 

입자가 평형위치에서 변위될 때(그림 참고) 각 용수철에서 힘 k(sl)을 받는다

(k는 각 용수철의 힘 상수이다)

(s는 늘어난 용수철의 길이, l은 늘어나기 전 용수철의 길이이다).

 

그러므로 입자가 받는 전체의 (수평 방향) 힘은 다음과 같다. 

 

F=2k(sl)sinθ

 

(용수철이 두 개이므로 두 배가 되었고, 수평성분의 힘을 구할 것이기 때문에 sinθ가 곱해졌다)

 

한편

 

s=l2+x2

 

이고, 

 

sinθ=xs=xl2+x2

 

이므로, 결국

 

F=2kxl2+x2(l2+x2l)=2kx(111+(x/l)2)

 

을 얻는다.

 

다음에 x/l은 작다고 생각해서(l에 비해 x가 매우 작다고 생각해서) 루트를 전개하면 다음과 같다. 

 

(테일러전개 한 것이다. 11+x2x=0에서 테일러전개 하면 1x22+3x48 를 얻을 수 있다. )

 

F=2kx(11+12(xl)238(xl)4+)=kx3l2(134(xl)2+)=(k/l2)x3

 

가장 기여가 큰 항 외의 모든 항을 생략하면, 근사적으로 위 식의 마지막 줄처럼 쓸 수 있다. 따라서 이 경우에 x/l이 작도록 운동의 진폭이 충분히 제한되어 있어도 힘이 x3에 비례하는 결과가 나오므로 이 계는 본질적으로 비선형이다.

 

한편 평형위치에 있는 입자에 용수철을 붙이기 위해 각 용수철을 d만큼 늘렸다고 하면, 힘은

 

F(x)2(kd/l)x[k(ld)/l3]x3

 

이 되어 선형항이 도입된다. (연습문제 4-1 참조) 미소 진동시에 운동은 근사적으로 조화 단진동이 된다. 

 

위의 식에서

 

ε=k(ld)/l3<0

 

으로 놓을 수 있으므로, 계는 단단한 계이다.  

 

만약 강제력 F0cosωt가 작용된다면 당기는 용수철의 운동방정식은

 

mx¨=2kdlxk(ld)l3x3+F0cosωt

 

로 주어진다. 

 

ε=εm,a=2kdml,G=F0m

 

라고 두면, 위 운동방정식을 다음과 같이 바꿀 수 있다. 

 

x¨=ax+εx3+Gcosωt

 

이 식은 풀기 힘든 미분 방정식이다. 계속 근사하는 방법(섭동법)으로 해의 중요한 성질을 찾아낼 수 있다. 

 

우선 x1=Acosωt를 해로 택하여 위 식의 우변에 x대신 대입한다. 그러면

 

x2¨=aAcosωt+εA3cos3ωt+Gcosωt

 

가 되며, 이 식의 해는 x=x2이다. 관계식 

 

cos3ωt=34cosωt+14cos3ωt

 

를 이 식에 사용하면

 

x2¨=(aA34εA3G)cosωt+14εA3cos3ωt

 

가 된다. 두 번 적분(적분 상수를 0으로 놓고) 하면

 

x2=1ω2(aA34εA3G)cosωtεA336ω2cos3ωt

 

를 얻는다. 이것은 이미 복잡한 해이다. 

 

ε,a,x에 어떤 조건이 부여되면 x2가 적합한 해가 될까? 컴퓨터로 수치 계산하면 아주 정확하게 섭동해를 빨리 얻을 수 있다. 진폭이 강제력의 진동수에 의존하지만 계의 고유진동수 부근에서 공명이 일어나지 않는다는 사실을 알게 되었다. 

 

이 미분방정식을 푸는 방법에 관한 좀 더 깊은 논의는 너무나 앞선 것이다. 강제력의 진동수 ω의 어던 값에 대해 진폭 사이에 '뛰는' 현상이 있는 세 가지 종류의 진폭이 결과로 나타난다. ω가 증가하는가 혹은 감소(히스테리시스)하는가에 따라 진폭의 값는 달라진다.