예제 4.1
두 개의 동일한 용수철 사이에 매달려 있는 질량이
[풀이]
입자가 그 평형의 위치에있고, 양쪽의 용수철이 늘어나지 않은 상태 (즉, 어떤 용수철에도 장력이 없고, 따라서 퍼텐셜 에너지도 없다)이며, 또 중력도 무시할 수 있으면,
입자가 평형위치에서 변위될 때(그림 참고) 각 용수철에서 힘
(
(
그러므로 입자가 받는 전체의 (수평 방향) 힘은 다음과 같다.
(용수철이 두 개이므로 두 배가 되었고, 수평성분의 힘을 구할 것이기 때문에
한편
이고,
이므로, 결국
을 얻는다.
다음에
(테일러전개 한 것이다.
가장 기여가 큰 항 외의 모든 항을 생략하면, 근사적으로 위 식의 마지막 줄처럼 쓸 수 있다. 따라서 이 경우에
한편 평형위치에 있는 입자에 용수철을 붙이기 위해 각 용수철을
이 되어 선형항이 도입된다. (연습문제 4-1 참조) 미소 진동시에 운동은 근사적으로 조화 단진동이 된다.
위의 식에서
으로 놓을 수 있으므로, 계는 단단한 계이다.
만약 강제력
로 주어진다.
라고 두면, 위 운동방정식을 다음과 같이 바꿀 수 있다.
이 식은 풀기 힘든 미분 방정식이다. 계속 근사하는 방법(섭동법)으로 해의 중요한 성질을 찾아낼 수 있다.
우선
가 되며, 이 식의 해는
를 이 식에 사용하면
가 된다. 두 번 적분(적분 상수를 0으로 놓고) 하면
를 얻는다. 이것은 이미 복잡한 해이다.
이 미분방정식을 푸는 방법에 관한 좀 더 깊은 논의는 너무나 앞선 것이다. 강제력의 진동수
'<역학> > [Marion] 일반역학_문제풀이' 카테고리의 다른 글
[Marion/마리온] 일반역학 제6장 연습문제 솔루션 풀이 해설 (2번) (1) | 2023.06.11 |
---|---|
[Marion/마리온] 일반역학 제 4장 연습문제 솔루션 풀이 해설 (7번)(작성중) (0) | 2023.06.10 |
[Marion/마리온] 일반역학 제 4장 연습문제 솔루션 풀이 해설 (6번) (0) | 2023.06.10 |
[Marion/마리온] 일반역학 4장 연습문제 솔루션 풀이 해설 (1번) (0) | 2023.06.10 |