[Marion/마리온] 일반역학 제 4장 연습문제 솔루션 풀이 해설 (7번)(작성중)

[문제 4-7]

 

진폭이 작지 않은 평면 진자의 자유 운동을 생각하자. 운동의 수평 성분이 근사적으로 (3차항까지) 다음과 같이 나타남을 보여라. 
$$\ddot{x} + \omega _0^2 \left( 1+ \frac{x_0^2}{l^2} \right) x - \varepsilon x^3 =0$$
 
$\omega _0^2 =g/l$, $\varepsilon = 39/2l^3$이고, $l$은 현의 길이와 같다. 

 

[풀이]

 
단진자의 운동방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다. 
 
$$\ddot{\theta} = - \omega _0^2 \sin{\theta}$$
 
$\theta$가 작지 않으므로 $\sin{\theta}$를 그대로 유지하자. 그리고 $\omega _0^2 = g/l$이다. 아래 그림을 보면, 수평 성분의 변위는 
$$x=l \sin{\theta}$$
이다. 
 
$y=x/l$로 놓으면, 
$$y=\sin{\theta}$$
이다. $y$를 시간에 대해 미분해주면
$$