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[문제 6-2] 평면 상에서 두 점 사이의 최단 경로는 직선임을 보여라. [풀이] 평면 상에서 두 점 사이의 거리 $dl$은 다음과 같이 구할 수 있다. $$dl=\sqrt{dx^2+dy^2}$$ 두 점을 $P_1, P_2$라고 하고 적분하자. $$l = \int_{P_1}^{P_2} \sqrt{1+\left( \frac{dy}{dx} \right) ^2} dx$$ 오일러 방정식을 쓰면 $$\frac{d}{dx} \frac{d}{d\dot{y}} \sqrt{1+\dot{y}^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\dot{y}}{\sqrt{1+\dot{y}^2}} \right) = 0$$ $$\frac{\dot{y}}{\sqrt{1+\dot{y}^2}}$$는 상수이므로 $A$로 놓자. 그..

[문제 4-7] 진폭이 작지 않은 평면 진자의 자유 운동을 생각하자. 운동의 수평 성분이 근사적으로 (3차항까지) 다음과 같이 나타남을 보여라. $$\ddot{x} + \omega _0^2 \left( 1+ \frac{x_0^2}{l^2} \right) x - \varepsilon x^3 =0$$ $\omega _0^2 =g/l$, $\varepsilon = 39/2l^3$이고, $l$은 현의 길이와 같다. [풀이] 단진자의 운동방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다. $$\ddot{\theta} = - \omega _0^2 \sin{\theta}$$ $\theta$가 작지 않으므로 $\sin{\theta}$를 그대로 유지하자. 그리고 $\omega _0^2 = g/l$이다. 아래 그림을 보면, 수평 성분의 ..

[문제 4-1] 총 에너지가 $E>2mgl$인 경우 평면 진자의 위상 경로에 대한 식을 유도해라. 이것은 주기적인 퍼텐셜 $U(\theta ) = mgl(1-\cos{\theta } )$에서 입자가 움직이는 경우에만 해당한다는 점에 유의해라. [풀이] 진자의 운동에너지는 $$T = E-U$$ $$T = \frac{1}{2} mv^2$$ $v=l\omega = l \dot{\theta}$이므로, $$T= \frac{1}{2} ml^2 \dot{\theta}^2$$ 이를 첫 번째 식에 대입하면 $\dot{\theta}$에 대해 정리하면 다음을 얻는다.

문제 4-1. 예제 4.1 참고. 입자를 평형 위치에 부착하기 위해 각 용수철을 거리 $d$만큼 늘려야 한다면 (즉 평형 위치에서 입자는 크기는 $kd$로 동일하고 방향이 반대인 두 개의 힘을 받는다), 입자가 움직이는 퍼텐셜이 대략 다음과 같음을 증명해라. $$U(x) = (kd/l) x^2 + [k(l-d)/4l^3] x^4$$ [풀이] 예제 4.1에서는 질량을 부착하기 위해 용수철을 늘릴 필요가 없었지만, 이 문제에서는 질량을 부착하기 위해 용수철을 거리 $d$만큼 늘려야 한다. (그림 참고) 그림의 두 번째 부분에서 늘어난 용수철의 길이는 $l$이다. 여기서 $l=l_0+d$이며, $l_0$는 늘어나지 않은 상태의 길이이다. (두 용수철은 동일하며 중력은 무시한다. ) 세 번째 그림은 용수철의 길..

예제 4.1 두 개의 동일한 용수철 사이에 매달려 있는 질량이 $m$인 입자를 생각하자. (그림 참고) 이 계가 비선형임을 보여라. 강제력 $F_0 \cos{\omega t}$에 대한 정상해를 구하라. [풀이] 입자가 그 평형의 위치에있고, 양쪽의 용수철이 늘어나지 않은 상태 (즉, 어떤 용수철에도 장력이 없고, 따라서 퍼텐셜 에너지도 없다)이며, 또 중력도 무시할 수 있으면, 입자가 평형위치에서 변위될 때(그림 참고) 각 용수철에서 힘 $-k(s-l)$을 받는다 ($k$는 각 용수철의 힘 상수이다) ($s$는 늘어난 용수철의 길이, $l$은 늘어나기 전 용수철의 길이이다). 그러므로 입자가 받는 전체의 (수평 방향) 힘은 다음과 같다. $$F=-2k(s-l) \sin{\theta}$$ (용수철이 두 개..