[Marion/마리온] 일반역학 4장 연습문제 솔루션 풀이 해설 (1번)

문제 4-1. 

 

예제 4.1 참고. 입자를 평형 위치에 부착하기 위해 각 용수철을 거리 $d$만큼 늘려야 한다면 (즉 평형 위치에서 입자는 크기는 $kd$로 동일하고 방향이 반대인 두 개의 힘을 받는다), 입자가 움직이는 퍼텐셜이 대략 다음과 같음을 증명해라. 

 

$$U(x) = (kd/l) x^2 + [k(l-d)/4l^3] x^4$$

 

[풀이] 

 

예제 4.1에서는 질량을 부착하기 위해 용수철을 늘릴 필요가 없었지만, 이 문제에서는 질량을 부착하기 위해 용수철을 거리 $d$만큼 늘려야 한다. (그림 참고)

 

 

그림의 두 번째 부분에서 늘어난 용수철의 길이는 $l$이다. 여기서 $l=l_0+d$이며, $l_0$는 늘어나지 않은 상태의 길이이다. (두 용수철은 동일하며 중력은 무시한다. ) 세 번째 그림은 용수철의 길이가 $s$로 늘어난 상태이다. 질량에 작용하는 힘은 용수철의 변위(수평 방향)에 용수철 상수를 곱한 값이다. 힘의 방향은 변위의 방향과 반대이므로 마이너스 부호를 곱해준다. 또한 두 개의 용수철이 있으므로 2를 곱해준다. 그러면 힘은 다음과 같다. 

 

$$F=-2k(s-l_0) \sin{\theta}$$

 

또한

 

$$s=\sqrt{l^2+x^2}$$

 

이고, 

 

$$\sin{\theta} = \frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}}$$

 

이므로 이를 힘에 대한 식에 대입해주면

 

$$F(x) = - \frac{2kx}{\sqrt{l^2+x^2}} \left( \sqrt{l^2+x^2} -l_0 \right)$$

 

이다. 

 

$l_0=l-d$이므로, 

 

$$\begin{align} F(x) & = - \frac{2kx}{\sqrt{l^2+x^2}} \left( \sqrt{l^2+x^2} - (l-d) \right) \\ & = -2kx \left( 1 - \frac{l-d}{\sqrt{l^2+x^2}} \right) \end{align} $$

 

$x/l$이 매우 작다고 생각하고 테일러 전개한 뒤 근사하면 다음을 얻을 수 있다. 

 

$$F(x) = - \frac{2kd}{l} x - \frac{k(l-d)}{l^3} x^3$$

 

퍼텐셜은 힘을 $x$에 대해서 적분한 뒤 음의 부호를 취해준 것이므로 다음과 같다. 

 

$$U(x) = - \int F(x) dx$$

 

$$\begin{align} U(x) & = \int \left( \frac{2kd}{l} x + \frac{k(l-d)}{l^3} x^3 \right) dx \\ & = \frac{kd}{l} x^2 + \frac{k(l-d)}{4l^3} x^4 \end{align}$$