[Problems and Solutions on Mechanics] 역학 연습문제 번역 해석 Part 1 뉴턴역학 (1)

1. DYNAMICS OF A POINT MASS (1001-1108)

 

1001

 

무게 $w$의 남자가 무게 $w$의 엘리베이터를 타고 있다. 엘리베이터는 수직으로 가속도 $a$로 가속하고 특정 순간에 속도 $V$를 갖는다.
(a) 남자의 겉보기 무게는 얼마인가?
(b) 남자가 엘리베이터에 대해 상대속도 $v$로 엘리베이터 내의 수직으로 된 사다리를 올라가고 있다. 남자의 에너지 소비율(사용한 힘)은 얼마인가?

 

1002

 

궤도를 도는 우주 정거장이 항상 지구의 같은 지점 위에 수직으로 유지되는 것으로 관측된다. 관측자는 어디에 있는걸까? 우주 정거장의 궤도를 가능한 한 완벽하게 설명하라.

 

1003

 

놀이공원에 회전하는 수평 원반이 있다. 한 어린이가 그 원반에 어느 반지름에나 앉을 수 있다. 원반이 속도를 내기 시작하면, 마찰력이 충분하지 않으면 어린이가 미끄러질 수 있다. 어린이의 질량은 50kg이고 마찰계수는 0.4이다. 각속도는 2rad/s이다. 어린이가 원반에 앉아있을 수 있는 최대 반경 R은 얼마인가?

 

1004

 

마찰이 없는 도르래 위를 지나는 줄의 한쪽 끝에는 9kg의 질량이 묶여 있고 다른 쪽 끝에는 7kg의 질량이 묶여 있다. 줄의 가속도와 장력을 구하라.

 

1005

 

벽돌이 수평에서 30도 각도로 경사진 평면을 5ft/s의 초기 속도로 올라가고 있다. (운동 혹은 정지)마찰계수 $\mu = \sqrt{3} /12$이다. 0.5초 후 벽돌은 원래 위치에서 얼마나 멀리 움직였는가? $g=32 \mathrm{ft/s^2}$으로 계산하라.

1006

 

몸무게가 80kg인 사람이 1m 높이에서 뛰어내리다가 멍청하게도 착지할 때 무릎을 꿇는 것을 잊어버렸다. 그의 몸은 단 1cm의 거리에서 감속한다. 감속하는 동안 다리에 가해지는 총 힘을 계산하라.

 

1007

 

그림 1.4에 표시된 롤러코스터 트랙에서 질량 M이 마찰 없이 미끄러진다. 트랙의 곡선 부분은 곡률 반경 R을 가지며, 질량은 높이 h에서 하강을 시작한다. h의 어떤 값에서 질량은 트랙에서 떨어지기 시작한다. 질량이 트랙에서 떨어지는 지점을 그림에 표시하고 이 현상이 발생하는 최소 h 값을 계산하라.

 

1008

 

회전하는 구형 행성을 생각하자. 적도에 있는 한 점의 속도는 V이고, 행성의 자전 효과는 적도에서의 g를 극에서의 g의 1/2로 만드는 것이다. 행성의 극에서 입자의 탈출 속도를 V의 배수로 표현하면 어떻게 되는가?

 

1009

 

작은 질량 m이 반지름 R의 수평 원반 가장자리에 놓여 있고, 질량과 원반 사이의 정지 마찰계수는 $\mu$이다. 원반은 각속도로 축을 중심으로 회전하여 질량이 원반에서 미끄러져 몇 미터 아래 바닥에 떨어지게 한다. 질량이 원반을 떠난 지점으로부터 수평으로 이동한 거리는 얼마인가?

 

1010

 

구슬이 계단에서 규칙적으로 튕겨 내려가면서 각 계단에서 같은 위치에 부딪히고 각 계단에서 같은 높이로 튀어오른다. 계단 높이는 계단의 깊이와 같으며 (계단 디딤면의 길이=계단의 높이), 복원계수 e가 주어진다. 필요한 수평 속도와 튀어오른 높이를 구해라. (복원계수는 $e=-v_f / v_i$ 로 정의되며, $v_f$와 $v_i$는 각각 튀어오르기 직전과 직후의 수직 속도이다. )

 

1011

 

모든 표면이 마찰이 없고 도르래와 줄의 관성이 무시할 수 있는 수준이라고 가정하자. $m_1$, $m_2$, $M$의 상대적인 운동을 방지하는 데 필요한 수평 힘을 구해라. 

 

1012

 

태양은 은하계 중심에서 약 25,000광년 떨어져 있으며 약 170,000,000년의 주기로 원을 그리며 이동한다. 지구는 태양으로부터 8광분 거리에 있다. 이 데이터만으로 은하의 대략적인 중력 질량을 태양 질량 단위로 구하라. 은하의 모든 질량이 은하의 중심에 있다고 가정하면 태양에 대한 중력을 근사치로 구할 수 있다고 가정할 수 있다. 

 

1013

 

질량 m의 올림픽 다이버가 초기 속도가 0인 상태에서 10m 높이의 다이빙 보드에서 하강을 시작한다.

(a) 물과 충돌할 때의 속도 $V_0$와 잠수 후 충돌할 때까지의 대략적인 경과 시간을 계산해라(원하는 방법을 사용하라). 물의 부력이 다이버의 중력과 균형을 이루고, 다이버가 받는 점성력이 $bv^2$라고 가정한다.

(b) 다이버가 물을 통해 수직 하강할 때의 운동 방정식을 설정해라. 수중 깊이 $x$의 함수로서 속도 $V$를 풀고 $x=0$에서 경계 조건 $V=V_0$을 부과해라.

(c) $b/m=0.4 \mathrm{ m^{-1} }$인 경우, $V=V_0 /10$이 되는 깊이를 추정해라.

(d) 수중에서 다이버의 수직 깊이 $x(t)$를 수중 시간으로 풀어라. 

 

1014

 

자전거를 타는 사람의 마찰과 공기 저항을 합친 힘은 $F=aV$이며, 여기서 $V$는 속도, $a=4\, \mathrm{newton-sec/m}$이다. 최대 힘으로 자전거를 타면 600와트의 추진력을 낼 수 있다. 바람이 불지 않는 평지에서 최대 속도는 얼마인가?

 

1015

 

질량 $m$, 길이 $l$의 진자가 수평 위치에 놓여 있다가 풀려난다. 고정점에서 d만큼 떨어진 곳에 못을 박으면 질량이 점선으로 표시된 경로를 따라 이동한다. 질량이 그림에 표시된 원 안에서 완전히 둥글게 흔들릴 수 있는 최소 거리 $d$를 $l$로 구하라.

 

1016

 

질량 $m$이 반경 $R_0$에서 속도 $v_0$로 매끄러운 수평면 위에서 원을 그리며 이동한다. 질량은 그림과 같이 평면의 매끄러운 구멍을 통과하는 끈에 부착되어 있다. ("매끄럽다"는 것은 마찰이 없음을 의미한다.)
(a) 줄의 장력은 얼마인가?
(b) $m$의 각운동량은 얼마인가?
(c) $m$의 운동 에너지는 얼마인가?
(d) 줄의 장력이 서서히 증가하여 마침내 $m$이 반지름 $R_0 /2$의 원을 그리며 움직인다. 운동 에너지의 최종 값은 얼마인가? 

(e) 끈을 서서히 당기는 것이 왜 중요한가?

 

1017

 

평평한 도로에서 시속 60마일로 주행하던 5,000파운드의 자동차가 갑자기 중립 기어를 넣으면 (즉, 동력을 쓰지 않고 관성으로 움직이는 것을 허용하면) 다음과 같은 방식으로 속도가 감소한다: $$V = \frac{60}{1+\left( \frac{t}{60} \right)} \mathrm{mph,} $$ 여기서 $t$는 초 단위의 시간이다. 이 자동차를 같은 도로에서 시속 30마일로 주행하는 데 필요한 마력을 구하라.

유용한 상수: $g=22\, \mathrm{mph/sec}$, $1 \, \mathrm{H.P.} = 550\, \mathrm{ft.lb/s}$, $60\, \mathrm{mph} = 88\,  \mathrm{ft/sec}$.

 

1018

 

질량 $m$의 어린이가 길이 $l$의 밧줄에 매달린 무시할 수 있는 질량의 그네에 앉아 있다. 어린이의 크기가 $l$에 비해 무시할 수 있다고 가정하자. 아버지는 밧줄이 수직과 1라디안 각이 될 때까지 어린이를 뒤로 당긴 다음 밧줄이 수직이 될 때까지 원의 호를 따라 힘 $F=mg$으로 밀고 그네를 놓는다. 아버지는 얼마나 오랫동안 그네를 밀었나? 이 문제에서는 $\theta <1$ 에 대해 $\sin{ \theta} =\theta $라고 쓰는 것이 충분히 정확하다고 생각할 수 있다.

 

1019

 

질량 $m$의 입자는 중심력 $\mathbf{f_1}$과 마찰력 $\mathbf{f_2}$의 두 가지 힘을 받고, 이는 다음과 같다.

$$\mathbf{f_1}= \frac{\mathbf{r}}{r} f(r)$$

$$\mathbf{f_2}=- \lambda \mathbf{v} \qquad (\lambda >0)$$

여기서 $v$는 입자의 속도이다. 약 $r=0$일 때 입자의 처음 각운동량이 $\mathbf{J_0}$ 인 경우, 그 이후의 모든 시간에 대한 각운동량을 구하라. 

 

1020

 

(a) A spherical object rotates with angular frequency $w$. If the only force preventing centrifugal disintegration of the object is gravity, what is the minimum density the object must have? Use this to estimate the minimum density of the Crab pulsar which rotates 30 times per second. (This is a remnant of a supernova in 1054 A.D. which is extensively observed in china!)

(b) If the mass of the pulsar is about 1 solar mass ($~ 2 \times 10^30$ kg or $~ 3 \times 10^5 M_{earth}$ ), what is the maximum possible radius of the pulsar?

(c) In fact the density is closer to that of nuclear matter. What then is the radius?

 

1021

 

Two weightless rings slide on a smooth circular loop of wire whose axis lies in a horizontal plane. A smooth string passes through the rings which carries weights at the two ends and at a point between the rings. If there is equilibrium when the rings are at points $30^{\circ} $ distant from the highest point of the circle as shown in fig 1.11, find the relation between the three weight. 

 

1022

 

Calculate the ratio of the mean densities of the earth and the sun from the following approximate data : 

$\theta$ = angular diameter of the sun seen from the earth = $\frac{1}{2}^{\circ}$

$l$ = length of $1^{\circ}$ of latitude on the earth's surface = 100 km

$t$ = 일 년 = $3 \times 10^7$ 초

$g$ = $10 \mathrm{m/s^2}$

 

1023

 

A parachutist jumps at an altitude of 3000 meters. Before the parachute opens she reaches a terminal speed of 30m/sec. 

(a) Assuming that air resistance is proportional to speed, about how long does it take her to reach this speed?

(b) How far has she traveled in reaching this speed?

(c) How far must she bend her knees in order to experience a deceleration no greater then $10g$? Assume that her knees are like a spring with a resisting force proportional to displacement. 

(d) Is the assumption that air resistance is proportional to speed a reasonable one? Show that this is or is not the case using qualitative arguments.

 

1024

 

A satellite in stationary orbit above a point on the equator is intended to send energy to ground stations by a coherent microwave beam of wavelength one meter from a one-km mirror. 

(a) What is the height of such a stationary orbit?

(b) Estimate the required size of a ground receptor station.

 

1025

 

An inclined plane of mass $M$ rests on a rough floor with coefficient of static friction $\mu$. A mass $m_1$ is suspended by a string which passes over a smooth peg at the upper end of the incline and attaches to a mass $m_2$ which slides without friction on the incline. The incline makes an angle $\theta$ with the horizontal. 

(a) Solve for the accelerations of $m_1$, $m_2$ and the tension in the string when mu is very large. 

(b) Find the smallest coefficient of friction for which the inclined plane will remain at rest.

 

1026

 

A particle of mass $m$ is constrained to move on the frictionless inner surface of a cone of half-angle $\alpha$, as shown in Fig. 1.14.

(a) Find the restrictions on the initial conditions such that the particle moves in a circular orbit about the vertical axis. 

(b) Determine whether this kind of orbit is stable. 

 

1027

 

Three point particles with masses $m_1$, $m_2$, and $m_3$ interact with each other through the gravitational force. 

(a) Write down the equations of motion. 

(b) The system can rotate in its plane with constant and equal distances between all pairs of masses. Determine the angular frequency of the rotation when the masses are separated by a distance $d$. 

(c) For $m_1 > m_3$ and $m_2 > m_3$, determine the stability condition for motion of the mass $m_3$ about the stationary position. Consider only motion in the orbital plane. 

 

1028

 

A smooth sphere rests on a horizontal plane.  A point particle slides firctionlessly down the sphere, starting at the top. Let $R$ be the radius of the sphere. Describe the particle's path up to the time it strikes the plane. 

1029

 

Point charge in the field of a magnetic monopole. 

The equation of motion of a point electric charge $e$, of mass $m$, in the field of a magnetic monopole of strength $g$ at the origin is 

$$m \mathbf{ \ddot{r} } = -ge \frac{\mathbf{ \dot{r} \times r}}{r^3}.$$

The monopole may be taken as infinitely heavy. 

(a) Show that the kinetic energy $T = m \mathbf{ \ddot{r} }^2 / 2 $ is a constant of the motion. 

(b) Show that $\mathbf{J} = \mathbf{L} + eg \mathbf{r} / r $ is also a constant of the motion, where $\mathbf{L} = m \mathbf{ r \times \dot{r} }.$

(c) Use part (b) to show that the charged particle moves on the surface of a right circular cone of opening angle $\xi$ given by
$$\cos{\xi} = \frac{eg}{|\mathbf{J}|},$$

with $\mathbf{J}$ as its symmetry axis (see Fig. 1.18). [힌트 : $\mathbf{r \cdot J}$를 고려하라. ]

새로운 변수 $\mathbf{R}$을 다음과 같이 정의하자. 

$$\mathbf{R} = \frac{1}{\sin{\xi}} \mathbf{\hat{J} \times (r \times \hat{J} ) } = \frac{1}{\sin{\xi}} [\mathbf{r - \hat{J} (r \cdot \hat{J})}]$$

$\mathbf{\hat{J} = J / |J|}$이다. 

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