벤젠 분자 예제

교수님 왈 '염주 문제'

아래 내용은 Georgi 교수님의 파동 교과서에 실린 내용 일부를 번역한 것이다.
오역 많을 수 있음 주의...

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쇠톱의 날을 들고, 한쪽 끝을 고정하고 다른 쪽 끝에 질량을 가진 물체를 달아보자. 이러면 기본적으로 하나의 자유도를 가진 괜찮은 진동자가 된다. 왜냐면 쇠톱날은 오로지 앞뒤 방향으로만 쉽게 휘어질 것이기 때문이다. 이제 6개의 동일한 톱날들을 가지고, 각각의 한쪽 끝을 한 점에 고정시킨다. 이때 중심으로부터 60도 각도로 사방으로 펼쳐지도록 하자. 그러면 톱날들로 형성된 평면 위에서 톱날들이 앞뒤로 휘어질 수 있을 것이다. 만약 여러분들이 그 톱날 각각의 끝에 질량을 가진 물체들을 매단다면, 여러분들은 육각형 모양을 하고 있는 6개의 분리된 진동자들을 가지게 된다. 그러나 만약 그 대신에 톱날 각각 끝에 동일한 자석들을 놓으면, 진동자들은 약간 복잡한 방식으로 서로 맞걸리게 될 것이다. [당신은 이 계의 진동들이 어떻게 생겼는지 프로그램 디스크에 있는 프로그램 4-2에서 볼 수 있다. -아마 부록에 프로그램이 수록되어 있나 봅니다]

[그림 4.3] 쇠톱날 6개가 맞걸린 진동자 계. 화살표들은 측정된 변위의 방향을 가리킨다.

만약 대칭적인 평형 위치에서부터의 변위들이 작다면, 이 계는 근사적으로 선형이다. 이 계의 분명한 복잡성에도 불구하고, 우리는 normal mode (표준 진동양식)를 쓸 수 있다. 그리고 해당하는 각진동수들을 거의 손 하나 까딱하지 않고도 쓸 수 있다! 요령은, 이 계의 대칭성을 영리하게 사용하는 것이다.

이 계는 중심을 기준으로 60도씩 회전시킨다면 완전히 똑같이 보인다. 어느 곳에서든 시작해서, 질량들에 1부터 6까지 반시계방향으로 번호를 붙여보자. 그러면 $j$번째 질량의 평형 위치로부터 반시계방향의 변위가 $x_j$가 된다. 늘 그렇듯이, 우리는 이 좌표들을 벡터로 배열할 것이다.

([주석] 여기서부터, 우리는 독자들이 복소수에 충분히 익숙하다고 가정할 것이다. 실수 좌표와 복소수 좌표를 구별하는 것이 필수적이지는 않다. )

$$X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\\ x_6\end{array}\right)$$

이런 회전의 대칭 연산은 순환적으로 치환되기 때문에 다음과 같이 시행될 수 있다.

$$x_1\to x_2\to x_3\to x_4\to x_5\to x_6\to x_1$$

이는 다음과 같이 행렬 표기로 대체될 수 있다.

$$X\to SX$$

대칭 행렬 S는 다음과 같다.

$$S=\left(\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

$1$이 행렬 $S$의 주대각선 바로 옆에 있다는 것에 주목해라. 이는 아래와 같은 치환을 시행한다.

$$x_1\to x_2\to x_3\to x_4\to x_5\to x_6$$

왼쪽 아래 구석의 $1$은 원 모양 순환의 치환을 끝낸다.

$$x_1\to x_2$$

대칭성은 이 계로부터의 $K$ 행렬 (용수철 상수 행렬)이 다음과 같은 형태를 가지기를 요구한다.

$$K=\left(\begin{array}{cccccc}E& -B& -C& -D& -C& -B\\ -B& E& -B& -C& -D& -C\\ -C& -B& E& -B& -C& -D\\ -D& -C& -B& E& -B& -C\\ -C& -D& -C& -B& E& -B\\ -B& -C& -D& -C& -B& E\end{array}\right)$$

모든 대각 성분이 ($E$로) 같다는 것에 주목해라. 대칭성 때문에 그럴 수밖에 없다. $K$ 행렬의 $j$번째 대각 요소는 $j$번째 질량의 변위로 인해 발생하는 단위 변위당 힘의 음수 값이다. 대칭성 때문에, 모든 다른 질량들이 고정된 상태에서 어떤 한 질량이 위치가 바뀌면, 각각의 질량들은 정확히 같은 방식으로 움직인다. 그러므로 $K_{jj}$로 쓸 수 있는, $K$ 행렬의 모든 대각요소들은 같다. 비슷하게, 대칭성은 각각의 $j$번 째 질량의 변위에 의한 효과가 이웃하는 $j\pm 1$들에 대해 완전히 같다는 것을 보장한다. ($j+1\to 1\text{if}j=6,j-1\to 6\text{if}j=1$) 그러므로 대각 성분 바로 옆에 있는 행렬 요소들이 ($B$로) 모두 똑같다. 구석에 있는 $B$들까지. 나머지도 다 그런 식이다! 그러므로 $K$ 행렬은 (4.7)을 만족시키고 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$SK=KS$$

이것은, 우리가 (4.13)-(4.12)에서 봤듯이, 대칭을 얘기하는 수학적인 표현이다. 당연히, 우리는 뒤로 돌아가서 식 (4.44)와 일치하는 가장 일반적인 대칭 행렬을 이해할 수도 있다. 그것이 (4.43)과 같은 형태를 가져야만 한다는 것도 확인할 수 있을 것이다. 여러분은 이걸 예제 (4.4)에서 해 볼 수 있다.

대칭성 때문에, 우리는 벡터 $A$가 normal mode인 경우, 벡터 $SA$도 동일한 진동수로 normal mode임을 알고 있다. 이는 물리적으로 자명하다. 계의 모든 부분이 특정한 방식으로 진동하면, 동일한 방식으로 움직일 수도, 60도 회전할 수도 있고, 주파수는 동일하다. 이러한 이유로 우리는 대칭 변환 $S$에 대해 간단하게 행동하는 normal mode를 찾아보는 것이 좋다. 특히, $S$의 고유 벡터를 찾고 $S$의 고유값이 모두 다르다는 것을 발견하면, (4.22)로부터 모든 고유 벡터가 normal mode임을 알 수 있다. 이전 예제에서, 우리는 대칭성 때문에 자기 자신에 $\pm 1$을 곱해도 여전히 자기 자신이 되는 mode를 찾았다. 그러나 일반적으로는, mode들이 지수 함수를 포함하고 있기 때문에 고유값이 실수일 것이라 기대하지 않아야 한다. 이 경우, 다음과 같이 $S$의 복소 고유값에 해당하는 mode들을 찾아야만 한다. ([주석] 이것이 가장 일반적인 가능성이 아닐지라도. 일반적으로, 우리는 행렬곱을 취했을 때 하나에서 다른 것으로 가는 mode들의 집합들을 고려해야만 한다. 이것은 여기서는 필수적이지 않다. 왜냐하면 대칭 변환은 모두 다른 것들과 교환 가능하기 때문이다. )

$$SA=\beta A$$

위의 (4.25)-(4.27)에 따라, 우리는 대칭성을 이용해서 가능한 고유값들을 찾을 수 있다. 60도 회전이 우리를 시작점으로 돌려보내는 것에 주목해라. 행렬 $S$는 다음을 만족한다.

$$S^6=I$$

(4.46)때문에, ${\beta }^6=1$이 성립한다. 그러므로 $\beta$는 1의 6제곱근이 되고,

$$\beta ={\beta }_k=e^{2ik\pi /6}\mathrm{for}k=0\mathrm{to}5$$
이다.

그러므로 각각의 $k$에 대해 normal mode가 다음과 같이 있다.

$$S{A}^k={\beta }_k{A}^k$$

분명하게,

$$S{A}^k=\left(\begin{array}{c}{A}_2^k\\ A_3^k\\ A_4^k\\ A_5^k\\ A_6^k\\ A_1^k\end{array}\right)={\beta }_k\cdot \left(\begin{array}{c}{A}_1^k\\ A_2^k\\ A_3^k\\ A_4^k\\ A_5^k\\ A_6^k\end{array}\right)$$

만약 $A_1^k=1$이라 잡으면, 우리는 다른 모든 요소들에 대해서도 다음과 같이 풀 수 있다.

$$A_j^k={\left({\beta }_k\right)}^{j-1}$$

그러므로

$$S{A}^k=\left(\begin{array}{c}{A}_1^k\\ A_2^k\\ A_3^k\\ A_4^k\\ A_5^k\\ A_6^k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ e^{2ik\pi /6}\\ e^{4ik\pi /6}\\ e^{6ik\pi /6}\\ e^{8ik\pi /6}\\ e^{10ik\pi /6}\end{array}\right)$$

이제 normal mode들에 대응하는 각진동수들을 결정하기 위해서, 우리는 다음을 계산해야 한다.

$$M^{-1}K{A}^k={\omega }_k^2{A}^k$$

우리가 이미 normal mode들의 형태를 알고 있기 때문에, 이것은 간단하다. 예를 들어서, 우리는 이 두 벡터들의 첫 번째 요소들을 비교할 수 있다 :

$${\omega }_k^2=(E-B{e}^{2ik\pi /6}-C{e}^{4ik\pi /6}-D{e}^{6ik\pi /6}-C{e}^{8ik\pi /6}-B{e}^{10ik\pi /6})/m$$
$$=\frac{E}{m}-2\frac{B}{m}\cos \frac{k\pi }{3}-2\frac{C}{m}\cos \frac{2k\pi }{3}-{(-1)}^k\frac{D}{m}$$

${\omega }_1^2={\omega }_5^2$ 와 ${\omega }_2^2={\omega }_4^2$ 임에 주목하라. 그럴 수밖에 없는 게, 대응하는 normal mode는 다음과 같이 복소켤레이기 때문이다.

$$A^5=A^{1\ast },A^4=A^{2\ast }$$

모든 복소 normal mode는 같은 진동수에서 복소켤레 normal mode와 쌍을 이룰 수밖에 없다, 그래서 그 중에서 실수인 normal mode를 만들 수 있다. 그래야만 하는 것이, normal mode는 변위가 실수인 실제 물리계를 기술하기 때문이다. 실수 mode는 복소 mode들의 선형결합이다.
$$A^k+A^{k^{\ast }}\mathrm{and}(A^k-A^{k^{\ast }})/i\mathrm{for}k=1\mathrm{or}2$$
이 mode들은 프로그램 디스크의 프로그램 4-2에서 볼 수 있다. 부록 A에 세부적인 프로그램 설명이 있다.

실수해인 (4.55)는 대칭행렬 $S$의 고유벡터들이 아니다. 이것은 각진동수들이 모두 다르지 않기 때문에 가능하다. 그러나, (4.47)에서 $S$의 고유값들은 모두 다르다. 그러므로 $S$의 고유벡터들이 아닌 normal mode들을 구성할 수 있지만, 그럼에도 '$S$의 모든 고유벡터들은 normal mode이다' 는 것은 참이다. 이것은 우리가 $A^n$을 알아내기 위해 (4.48)-(4.50)에서 사용한 것이다.

(4.55)는 (3.117)의 아주 중요한 원리에 대한 또다른 예제이고, 우리는 다음을 많이 사용할 것이다 :
만일 $A$와 $A^{\prime }$이 '같은 각진동수 $\omega$를 가진 계의 normal mode라면, 모든 선형결합 $bA+c{A}^{\prime }$도 같은 각진동수를 가진 normal mode이다.

같은 진동수의 normal mode들은 새로운 normal mode들을 만들기 위해 선형결합 될 수 있다. (예제 4.3 참고) 반면에, '다른' 진동수를 가진 두 normal mode들을 선형결합하면 복잡한 결과가 나온다.

여기서 사용된 테크닉들은 비슷한 대칭적인 배열에서 어떤 수의 질량에도 적용될 수 있다. $N$개의 질량들이 $2\pi /N$라디안 회전에 대해 대칭적일 때, 1의 N제곱근이 우리 예제에서의 6제곱근을 대체할 것이다. 대칭은 더 흥미로운 상황에서도 normal mode를 결정하는 데 사용될 수 있는데, 예를 들어 큐브의 꼭짓점에 질량이 위치한 경우가 있다. 그러나 이 경우는 우리가 했던 것보다 훨씬 복잡하다. 왜냐하면 대칭 변환의 순서가 중요하기 때문이다 - 변환들은 교환 불가능하다. 여러분이 군론을 공부한 후에 이걸 다시 보면 좋을 것이다.